Zusammenfassung Ableitungsregeln

`f(x) = c ⇒ f^'(x) = 0`

Beispiel: `f(x)=7 ⇒ f^'(x) = 0`

`f(x)=x^n ⇒ f'(x)=n⋅x^(n-1)`, falls n eine natürliche Zahl größer als 1

Beispiel: `f(x)=x^4 ⇒ f'(x)=4x^3`

Sonderfall: `f(x)=x ⇒ f'(x)=1`

`f(x)=x^r ⇒ f'(x)=r⋅x^(r-1)`, r eine reelle Zahl

Beispiel 1: `f(x)=x^(2/3) ⇒ f'(x)=2/3*x^(-1/3)` ; Beispiel 2: `f(x)=x^(2,5) ⇒ f'(x)=2,5*x^(1,5)`

`root(n)(x^m)=(root(n)(x))^m=x^(m/n)`  Also: `f(x)=x^(m/n) ⇒f'(x)=m/n⋅x^(m/n-1)=m/n⋅x^((m-n)/n)=m/n⋅root(n)(x^(m-n))`

Beispiel: `root(3)(x^2)=(root(3)(x))^2=x^(2/3)`

Also: `f(x)=x^(2/3) ⇒f'(x)=2/3⋅x^(2/3-1)=2/3⋅x^((2-3)/3)=2/3⋅x^(-1/3)=2/3⋅root(3)(x^(-1))=2/3⋅root(3)(1/x)`

`g(x)=a⋅f(x) rArr g'(x)=a⋅f'(x), a in RR`

Beispiel: `g(x)=5⋅x^4 ⇒ g'(x)=5⋅4⋅x^3=20⋅x^3`

`h(x)=f(x)±g(x) ⇒ h'(x)=f'(x)±g'(x)`

Beispiel: `h(x)=x^2+e^x ⇒h'(x)=2x+e^x`

`k(x) = f(g(x)) ⇒ k'(x) = f'(g(x))⋅g'(x)`

Beispiel: `k(x)=e^(2x+3) ⇒k'(x)=e^(2x+3)⋅2`, wobei `(f(x)=e^x; g(x)=2x+3)`

`k(x) = f(x)⋅g(x) ⇒ k'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)`

Beispiel: `k(x)=x^4⋅e^x ⇒ k'(x)=4x^3⋅e^x+x^4⋅e^x`

`f(x)=e^x ⇒ f'(x)=e^x` und `f(x)=a^x⇒f'(x)=ln(a)⋅a^x`