Es ist eine binomial verteilte Zufallsgröße `X` mit den Parametern n (Anzahl der Versuche) und p (Wahrscheinlichkeit für eines der beiden möglichen Ergebnisse / "für den Erfolg") gegeben, also eine `B(n;p)` - Verteilung.
Der Erwartungswert ist dann `E(X) = mu = n·p` und die Standardaweichung `sigma = sqrt(n·p·(1 - p))`.
Die Aussagen der Sigma-Regeln sind nur dann zuverlässig anwendbar, wenn `sigma > 3` ist (Laplace-Bedingung).
Die Regeln geben den Anteil der Gesamtwahrscheinlichkeit an, der sich in einem durch ein Vielfaches `z` von `sigma` bestimmten symmetrischen Bereich um den Erwartungswert `mu` befindet.
`P(mu - z*sigma <= X <= mu + z*sigma)`
Da die Binomialverteilung nur ganzzahlige Werte annimmt, sind die Wahrscheinlichkeitswerte nur Annäherungen.
Tabelle der häufigsten Werte:
| `z =` | `P(mu - z*sigma <= X <= mu + z*sigma) ~~` | `z =` | `P(mu - z*sigma <= X <= mu + z*sigma) ~~` |
| `1` | `68.3 %` | `1.64` | `90 %` |
| `2` | `95.5 %` | `1.96` | `95 %` |
| `3` | `99.7 %` | `2.58` | `99 %` |
Das Intervall der ganzzahligen x-Werte, für die `mu - z*sigma <= X <= mu + z*sigma` gilt, heißt z-Sigma-Umgebung.
Berechnungsbeispiel:
`B(44;0.3) -` Verteilung
`z = 1.64` (90%-Intervall)
`mu = n*p = 44*0.3 0 = 13.2`
`sigma = sqrt(44·0.3·(1 - 0.3)) = sqrt(13.2*0.7) = sqrt(9.24) ~~ 3.04 > 3` (Laplace-Bedingung)
`mu - 1.64*sigma ~~ 13.2 - 1.64*3.04 ~~ 8.21` und `mu + 1.64*sigma ~~ 13.2 + 1.64*3.04 ~~ 18.19`
Die `1.64sigma`-Umgebung ist dann `[9,10,...,17,18]`.
Es wird immer nach innen gerundet.
Es gilt: `P(9 <= X <= 18) ~~ 0.8999`.
